Matematika fascinovala lidi od pradávna. Již v Platónově akademii bylo napsáno “Ať nikdo s nezájmem o geometrii nevstupuje”. Co je vlastně matematika? Je snad jen pouhým lidským výmyslem, pouhou hrou se symboly? A pokud ano, jak je možné, že je tak provázána s tímto světem, že její znalost je nutným předpokladem pro každou vyspělou civilizaci?  Anebo existuje nezávisle na nás a její ontologický status je podobný onomu Platónskému světu ideí. A jestliže existuje nezávisle na nás, potom nutně vyvstává epistemická otázka, jak se její správná znalost dostává k nám.

Snad první strukturou, a jednou z nejdůležitějších v matematice, jež byla již přítomna ve starověkém Řecku, byla struktura přirozených čísel. Pythagorovci vnímali koncept čísla jako nejzákladnější koncept nejen matematiky, ale i světa kolem nás. Pro Euklida byla potom matematika zejména geometrie. Jeho zásadní dílo Základy bylo asi nejvlivnější matematickou knihou v dějinách. V nich je předložena výstavba geometrie už pozoruhodně vyspělým stylem, ne nepodobným dnešním matematickým knihám, kde jsou nejdříve postulovány axiomy a z nich poté, pomocí logických pravidel, odvozovány další tvrzení.

Již v té době byl znám například důkaz, že je nekonečně prvočísel, ale také, že existuje číslo, jež se nedá vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, což byl pro starověké řeky šok. Během následujících tisíci let se matematika dál rozvíjela. V 17. století byly položeny základy matematické analýzy. V 19. století potom byl zásadní rozmach abstraktní algebry. Jedním z hlavních principů, jež k tomuto rozvoji pomohl, byla možnost si nezávisle nadefinovat strukturu a abstrahovat od naší zkušenosti.  V té době byla také objevena neeuklidovská geometrie. Tím byl vyřešen jeden z hlavních problému, zda pátý Euklidův postulát je důsledkem prvních čtyř.

Matematika postupně získávala podobu tak, jak ji známe dnes. Byly položeny základy logiky a s ní spojená formalizace matematiky. Ve 20. století se potom ustálila axiomatika teorie množin, jež je používána i v dnešní době. Tento vývoj však nebyl samozřejmý a o dnešní podobu matematiky se musel svádět boj.

Na počátku 20. století vznikl tzv. Hilbertův program. Vytvořit axiomatiku matematiky, jež by byla úplná, tj. každé matematické tvrzení by bylo dokazatelné nebo vyvratitelné a u něhož by byla dokazatelná bezespornost, vlastnost, která je, jak si Hilbert uvědomil, pro základy matematiky nejzásadnější. To, že tento program nemůže být realizován, bylo dokázáno ve 30. letech Kurtem Godelem a jeho první a druhá věta jsou jedny z nejvýznamnějších matematických vět 20. století.

Ve třicátých letech potom na základě prací Turinga a Churche byl zaveden exaktní popis, co je to algoritmus, který má v základech matematiky své podstatné místo.

Na základě vzniku počítačů se postupně začala rozvíjet teorie výpočetní složitosti, jež byla prvotně motivována praktickými problémy, ale u které si matematici začali uvědomovat, že zásadní otázky jako P versus NP problém, nejsou pouze praktické problémy, ale že jejich důležitost a význam se možná týká samotných základů matematiky.  Přestože uplynulo více než 40 let od formulování těchto problémů, jejich důkaz je zatím v nedohlednu a spíše bylo dosaženo pokroku v tom, jaké důkazy tento problém vyřešit nedokáží.

Tento blog vznikl na základě mého zájmu o matematiku. Chci zde postupně psát různé články, jež se více či méně týkají základů matematiky. Přitom chci klást důraz nejenom na logiku, teorii množin, teorii důkazů apod., ale i na výpočetní složitost, jež je podle mne do značné míry s logikou propojena.